En a) tenemos un adverbio, una palabra que únicamente puede servir de adverbio (aunque deriva de un adjetivo). En b) tenemos un complemento circunstancial, que tiene la misma función que un adverbio, pero cuyas partes aisladas (la preposición con y el sustantivo alegría) pueden tener cantidad de otras funciones en otras frases. En la frase c) tenemos el adverbio más puro que uno puede imaginarse, porque sólo puede ser adverbio y no deriva de nada.

De todo esto podemos sacar las siguientes conclusiones. Se puede definir el adverbio por su función dentro de una frase. En este caso el adverbio es cualquier palabra o conjunto de palabras que sirve para precisar un verbo, un adjetivo u otro adverbio y que es invariable o sea que no concuerda en género y número con absolutamente nada.

Él come rápido. (el adverbio rápido precisa un verbo)
Él come muy rápido. (el adverbio muy precisa el adverbio rápido)
Él está muy contento. (el adverbio muy precisa el adjetivo contento)

Si definimos el adverbio meramente por la función en la frase, casi todas las palabras pueden ser adverbios o formar parte de un adverbio y por lo tanto es más útil llamar adverbios solamente aquellas palabras que siempre son adverbios como mucho, muy, alegremente, violentamente etc.. Los conjuntos de palabras o adjetivos que tienen meramente la función de un adverbio los llamamos complemento circunstancial.

Tipos de adverbios   el adverbio es genuino y no deriva de nada   Ven aquí.   Ya está aquí.   Hazlo ahora.   Lo puedes hacer más tarde.   el adverbio no se distingue en su forma del adjetivo   Corre rápido.   Es un coche rápido.   el adverbio deriva de un adjetivo   Desgraciadamente no ha llegado a tiempo.   Afortunadamente me lo dijo.   complemento circunstancial que tiene la función de un adverbio.   Vino a las cinco de la tarde.   Lo hizo sabiendo que no puede funcionar.